いわゆる「在留特別許可」の規定です。
退去強制事由に該当する場合でも、その在留状況等によって、法務大臣が特別に在留を認めることがあります。
法務大臣の裁量行為ですので、「○○であれば許可される」とか「△△なら許可されない」という明確な基準はなく、それぞれ個別の事情に基づき判断されます。

日本への生活の定着度、在留状況などが判断の材料になります。

もう日本で何年も働き、日本で結婚・出産し、子供も日本の学校に通っている、というような場合には、日本への定着度が高いですから、在留特別許可を得られることが多いです。

また、「不法滞在」であるという以外の違反がなければ、在留状況が良いと判断されます。
未納の税金がないことなどです。

ただし、あくまでも「特別」許可ですので、安易に考えない方が良いでしょう。

（法務大臣の裁決の特例）
第50条 　法務大臣は、前条第3項の裁決に当つて、異議の申出が理由がないと認める場合でも、当該容疑者が左の各号の一に該当するときは、その者の在留を特別に許可することができる。

一 　永住許可を受けているとき。
二 　かつて日本国民として本邦に本籍を有したことがあるとき。
三 　その他法務大臣が特別に在留を許可すべき事情があると認めるとき。

２ 　前項の場合には、法務大臣は、法務省令で定めるところにより、在留期間その他必要と認める条件を附することができる。

３ 　第1項の許可は、前条第4項の適用については、異議の申出が理由がある旨の裁決とみなす。